kaoyan3basic 高等数学 第630题
📝 题目
### 第630题 630 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x f^{\prime}(x)}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由条件$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)\neq0$，将$f(x)$在$x=0$处泰勒展开：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$，$f'(x)=f''(0)x+o(x)$。代入极限： $$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{xf'(x)}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)}{x(f''(0)x+o(x))}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}f''(0)+o(1)}{f''(0)+o(1)}=\frac{1}{2}. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用泰勒展开将f(x)和f'(x)在x=0处展开
由条件f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)≠0，将f(x)在x=0处泰勒展开：f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2 f''(0)x^2+o(x^2)=1/2 f''(0)x^2+o(x^2)；f'(x)=f'(0)+f''(0)x+o(x)=f''(0)x+o(x)。
公式：f(x)=1/2 f''(0)x^2+o(x^2), f'(x)=f''(0)x+o(x)
提示：注意展开到与分母同阶即可，这里分母有x，所以f(x)展开到x^2，f'(x)展开到x。
步骤 2/3
目标：代入极限表达式并化简
将展开式代入极限：lim_{x→0} f(x)/(x f'(x)) = lim_{x→0} [1/2 f''(0)x^2+o(x^2)] / [x (f''(0)x+o(x))] = lim_{x→0} [1/2 f''(0)x^2+o(x^2)] / [f''(0)x^2+o(x^2)]。
提示：注意分子分母同时除以x^2，得到lim_{x→0} [1/2 f''(0)+o(1)] / [f''(0)+o(1)]。
步骤 3/3
目标：计算极限值
当x→0时，o(1)→0，因此极限为(1/2 f''(0)) / f''(0) = 1/2。
提示：f''(0)≠0，可以约去。
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