kaoyan3basic 高等数学 第629题
📝 题目
### 第629题 629 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，并且 $|f(x)| \leqslant 1-\sqrt{1-x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 在 $x=$ 0 处 （A）不连续． （B）连续而不可导． （C）可导但 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ． （D）$f^{\prime}(0)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$|f(x)| \le 1 - \sqrt{1-x^2}$，且$\displaystyle 1 - \sqrt{1-x^2} \sim \frac{1}{2}x^2$（$x \to 0$），故$\displaystyle |f(x)| \le \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$。 步骤2：令$x=0$，得$|f(0)| \le 0$，故$f(0)=0$。 步骤3：考虑$\displaystyle \left| \frac{f(x) - f(0)}{x} \right| = \left| \frac{f(x)}{x} \right| \le \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{|x|}$，当$x \to 0$时，$\displaystyle \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{|x|} \sim \frac{1}{2}|x| \to 0$，故$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$，即$f'(0)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：推导不等式并估计f(0)
由已知不等式 |f(x)| ≤ 1 - √(1-x²)，当 x→0 时，1 - √(1-x²) ~ x²/2，故 |f(x)| ≤ x²/2 + o(x²)。令 x=0，得 |f(0)| ≤ 0，所以 f(0)=0。
公式：1 - √(1-x²) ~ x²/2 (x→0)
提示：利用等价无穷小简化不等式。
步骤 2/2
目标：证明f'(0)=0
考虑差商绝对值：|(f(x)-f(0))/x| = |f(x)/x| ≤ (1 - √(1-x²))/|x|。当 x→0 时，(1 - √(1-x²))/|x| ~ |x|/2 → 0，因此 lim_{x→0} f(x)/x = 0，即 f'(0)=0。
公式：|f(x)/x| ≤ (1 - √(1-x²))/|x|
提示：夹逼准则求极限。
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