kaoyan3basic 高等数学 第628题
📝 题目
### 第628题 628 设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶导数连续，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=2, g^{\prime \prime}(0)=1$ ，且设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{2 x}}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导但导函数不连续． （D）导函数连续．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：先判断连续性：$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - \mathrm{e}^{2x}}{x}$，由$g(0)=1$，$\mathrm{e}^{0}=1$，为$0/0$型，用洛必达法则得$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{g'(x) - 2\mathrm{e}^{2x}}{1} = g'(0) - 2 = 2-2=0$，故$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，连续。 步骤2：判断可导性：$\displaystyle f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - \mathrm{e}^{2x}}{x^2}$，洛必达得$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{g'(x) - 2\mathrm{e}^{2x}}{2x}$，仍为$0/0$，再洛必达得$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{g''(x) - 4\mathrm{e}^{2x}}{2} = \frac{g''(0) - 4}{2} = \frac{1-4}{2} = -\frac{3}{2}$，故$\displaystyle f'(0) = -\frac{3}{2}$，可导。 步骤3：判断导函数连续性：$x \neq 0$时，$\displaystyle f'(x) = \frac{(g'(x)-2\mathrm{e}^{2x})x - (g(x)-\mathrm{e}^{2x})}{x^2}$，求$\lim_{x \to 0} f'(x)$，用泰勒展开：$\displaystyle g(x)=1+2x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$，$\mathrm{e}^{2x}=1+2x+2x^2+o(x^2)$，则$\displaystyle g(x)-\mathrm{e}^{2x} = -\frac{3}{2}x^2+o(x^2)$，$g'(x)-2\mathrm{e}^{2x} = (2+x+o(x)) - (2+4x+o(x)) = -3x+o(x)$，代入得$\displaystyle f'(x) = \frac{(-3x+o(x))x - (-\frac{3}{2}x^2+o(x^2))}{x^2} = \frac{-3x^2 + \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = -\frac{3}{2} + o(1)$，故$\displaystyle \lim_{x \to 0} f'(x) = -\frac{3}{2} = f'(0)$，导函数连续。 **难度**：★★★★☆