kaoyan3basic 高等数学 第627题
📝 题目
### 第627题 627 设 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=a f(x)$ ，且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处 （A）不可导． （B）可导，$f^{\prime}(1)=a$ ． （C）可导，$f^{\prime}(1)=b$ ． （D）可导，$f^{\prime}(1)=a b$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$f(1+x) = a f(x)$，令$x=0$得$f(1) = a f(0)$。 步骤2：求导：$f'(1+x) = a f'(x)$，令$x=0$得$f'(1) = a f'(0) = a b$。 步骤3：故$f(x)$在$x=1$处可导，且$f'(1)=ab$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件求f(1)与f(0)的关系
由f(1+x)=a f(x)，令x=0，得f(1)=a f(0)。
公式：f(1)=a f(0)
提示：代入x=0即可得到关系式。
步骤 2/3
目标：对等式两边求导，得到导数关系
对f(1+x)=a f(x)两边关于x求导，得f'(1+x)=a f'(x)。
公式：f'(1+x)=a f'(x)
提示：注意左边是复合函数求导，链式法则。
步骤 3/3
目标：代入x=0得到f'(1)的值
令x=0，得f'(1)=a f'(0)=a b。
公式：f'(1)=a b
提示：已知f'(0)=b。
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