kaoyan3basic 高等数学 第586题
📝 题目
### 第586题 586 设平面有界区域 $D$ 由曲线 $x=y^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 围成，则 $D$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ， $D$ 绕 $y$ 轴旋转形成的旋转体体积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{9}{2}$；$\displaystyle \frac{72\pi}{5}$ **解析**： 步骤1：求交点。联立$x=y^2$与$x+y=2$，得$y^2+y-2=0$，解得$y=-2,1$。 步骤2：面积$\displaystyle S=\int_{-2}^{1}[(2-y)-y^2]dy=\left[2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}$。 步骤3：旋转体体积$\displaystyle V=\pi\int_{-2}^{1}[(2-y)^2-(y^2)^2]dy=\pi\int_{-2}^{1}(4-4y+y^2-y^4)dy=\frac{72\pi}{5}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲线交点
联立曲线方程 x = y^2 与直线方程 x + y = 2，得到 y^2 + y - 2 = 0，解得 y = -2 和 y = 1。
公式：y^2 + y - 2 = 0
提示：注意解方程时不要遗漏根。
步骤 2/3
目标：计算面积
面积 S = ∫_{-2}^{1} [(2-y) - y^2] dy = [2y - y^2/2 - y^3/3]_{-2}^{1} = 9/2。
公式：S = ∫_{a}^{b} (x_上 - x_下) dy
提示：注意积分变量为 y，被积函数为直线 x=2-y 减去抛物线 x=y^2。
步骤 3/3
目标：计算旋转体体积
体积 V = π ∫_{-2}^{1} [(2-y)^2 - (y^2)^2] dy = π ∫_{-2}^{1} (4 - 4y + y^2 - y^4) dy = 72π/5。
公式：V = π ∫_{a}^{b} (R^2(y) - r^2(y)) dy
提示：注意旋转轴为 y 轴，外半径 R(y)=2-y，内半径 r(y)=y^2。
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