kaoyan3basic 高等数学 第587题
📝 题目
### 第587题 587 设曲线 $L_{1}: y=1-x^{2}$ 与正 $x$ 轴、正 $y$ 轴所围成的区域被曲线 $L_{2}: y=a x^{2}$ 分为面积相等的两部分，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：$L_1$与坐标轴围成区域面积$\displaystyle S=\int_0^1(1-x^2)dx=\frac{2}{3}$。 步骤2：$L_2$与$L_1$交点满足$1-x^2=ax^2$，得$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{1+a}}$。 步骤3：上半部分面积$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{1+a}}}[(1-x^2)-ax^2]dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，解得$a=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算曲线L1与坐标轴围成的区域面积S
曲线L1: y=1-x^2与正x轴、正y轴的交点分别为(1,0)和(0,1)，围成的区域面积为∫_0^1 (1-x^2) dx = [x - x^3/3]_0^1 = 1 - 1/3 = 2/3。
公式：S = ∫_0^1 (1-x^2) dx = 2/3
提示：注意积分上下限：x从0到1。
步骤 2/3
目标：求曲线L1与L2的交点横坐标
联立y=1-x^2和y=ax^2，得1-x^2=ax^2，即1=(1+a)x^2，解得x=1/√(1+a)（取正根）。
公式：x = 1/√(1+a)
提示：交点位于第一象限，x>0。
步骤 3/3
目标：利用面积相等条件建立方程求解a
L2将区域分为面积相等的两部分，上半部分面积（L1与L2围成）应为总面积的一半，即1/3。上半部分面积=∫_0^{1/√(1+a)} [(1-x^2) - ax^2] dx = ∫_0^{1/√(1+a)} (1 - (1+a)x^2) dx = [x - (1+a)x^3/3]_0^{1/√(1+a)} = 1/√(1+a) - (1+a)/(3(1+a)√(1+a)) = 1/√(1+a) - 1/(3√(1+a)) = 2/(3√(1+a))。令其等于1/3，得2/(3√(1+a)) = 1/3，解得√(1+a)=2，即1+a=4，a=3。
公式：∫_0^{1/√(1+a)} (1 - (1+a)x^2) dx = 1/3
提示：注意积分计算时，被积函数是L1减L2。
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