kaoyan3basic 高等数学 第164题
📝 题目
### 第164题 164 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为 （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\sqrt[3]{3}$ ． （C）$\sqrt[4]{4}$ ． （D）$\sqrt[5]{5}$ ． □ 纠锂笔记
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：考虑函数$f(x)=\sqrt[x]{x}=x^{1/x}$，$x>0$。取对数$\displaystyle \ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$，求导得$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1-\ln x}{x^2}$。令$f'(x)=0$得$x=e$。当$x
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将数列通项转化为函数形式
设函数 f(x)=x^(1/x)，x>0，则数列第n项为 f(n)。
公式：f(x)=x^{1/x}
提示：利用函数研究数列的单调性和最值。
步骤 2/4
目标：对函数取对数并求导
取自然对数得 ln f(x) = (ln x)/x，求导得 f'(x)/f(x) = (1 - ln x)/x^2，所以 f'(x) = f(x)*(1 - ln x)/x^2。
公式：\ln f(x)=\frac{\ln x}{x}, \quad f'(x)=f(x)\frac{1-\ln x}{x^2}
提示：注意 f(x)>0，导数符号由分子决定。
步骤 3/4
目标：求极值点
令 f'(x)=0，得 1 - ln x = 0，解得 x = e。当 x0，函数递增；当 x>e 时 f'(x)<0，函数递减。因此 f(x) 在 x=e 处取得最大值。
公式：x=e
提示：e≈2.718，所以最大值在 x=e 附近。
步骤 4/4
目标：比较数列中靠近 e 的项
数列中 n=2,3,4,5 等，计算近似值：√2≈1.414，³√3≈1.442，⁴√4≈1.414，⁵√5≈1.380。其中 ³√3 最大。
提示：由于 n=3 最接近 e，且函数在 e 处最大，故 ³√3 为最大项。
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