kaoyan3basic 高等数学 第165题
📝 题目
### 第165题 165 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对． 纠钱笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)$。在$[-1,2]$上，令$f'(x)=0$得$x=0$（$x=4$不在区间内）。计算端点值：$f(-1)=-a-6a+b=-7a+b$，$f(0)=b$，$f(2)=8a-24a+b=-16a+b$。由于$a>0$，$f(0)=b$最大，$f(2)=-16a+b$最小。由题意$b=3$，$-16a+3=-29$，解得$a=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数并找出临界点
对函数 f(x)=ax^3-6ax^2+b 求导，得 f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)。在区间 [-1,2] 上，令 f'(x)=0，解得 x=0（x=4 不在区间内）。
公式：f'(x)=3ax(x-4)
提示：注意定义域，只考虑区间内的临界点。
步骤 2/4
目标：计算区间端点和临界点的函数值
计算 f(-1)=-a-6a+b=-7a+b，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=-16a+b。
提示：代入时注意符号。
步骤 3/4
目标：比较函数值确定最值
由于 a>0，比较三个值：-7a+b, b, -16a+b。显然 b 最大，-16a+b 最小。
提示：利用 a>0 判断大小关系。
步骤 4/4
目标：根据已知最值列方程求解
由题意，最大值是 3，最小值是 -29，所以 b=3，且 -16a+b=-29。代入 b=3 得 -16a+3=-29，解得 a=2。
公式：-16a+3=-29
提示：解方程时注意移项。
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