kaoyan3basic 高等数学 第166题
📝 题目
### 第166题 166 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内存在二阶导数且 $f(a)<0, f(b)>0, f^{\prime \prime}(x)>$ 0 ．则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内 （A）没有零点． （B）正好有 1 个零点． （C）正好有 2 个零点． （D）有多于 2 个零点．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$f(a)<0$，$f(b)>0$及零点定理，$f(x)$在$(a,b)$内至少有一个零点。又$f''(x)>0$，故$f'(x)$单调增，$f(x)$是凹函数。假设有两个零点$x_1
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断零点存在性
由零点定理，因为 f(a)<0，f(b)>0，且 f(x) 在 [a,b] 上连续，所以至少存在一个 ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)=0。
公式：零点定理
提示：注意连续性和端点函数值异号是应用零点定理的条件。
步骤 2/2
目标：分析零点个数
假设有两个零点 x10，f'(x) 单调递增，所以当 x<η 时 f'(x)<0，当 x>η 时 f'(x)>0。因此 f(x) 在 x=η 处取极小值，且 f(η)<0（因为 f(x1)=0 且 f 先减后增）。但 f(b)>0，矛盾。故只有一个零点。
公式：罗尔定理
提示：利用二阶导数大于0判断函数为凹函数，导数单调递增。
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