kaoyan3basic 高等数学 第167题
📝 题目
### 第167题 167 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：A错误，反例$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$内$\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}$连续但$f(x)$无界。B错误，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$内连续但无界。C正确，由拉格朗日中值定理，对任意$x \in (a,b)$，$|f(x)-f(c)| \le M|x-c|$，其中$c$为某固定点，$M$为$f'(x)$的上界，故$f(x)$有界。D错误，反例$f(x)=\sqrt{x}$在$(0,1)$内有界但$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$无界。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
考虑反例f(x)=1/x在(0,1)内，f'(x)=-1/x^2在(0,1)内连续，但f(x)无界，因此A错误。
提示：注意连续函数在开区间内不一定有界，如1/x在(0,1)。
步骤 2/4
目标：分析选项B
考虑反例f(x)=1/x在(0,1)内连续，但无界，因此B错误。
提示：连续函数在开区间内不一定有界，除非区间是闭区间。
步骤 3/4
目标：分析选项C
设f'(x)在(a,b)内有界，即存在M>0使得|f'(x)|≤M。取定点c∈(a,b)，由拉格朗日中值定理，对任意x∈(a,b)，存在ξ介于x与c之间，使得|f(x)-f(c)|=|f'(ξ)||x-c|≤M|b-a|，因此|f(x)|≤|f(c)|+M|b-a|，故f(x)有界。C正确。
公式：拉格朗日中值定理：f(x)-f(c)=f'(ξ)(x-c)
提示：利用导数有界和拉格朗日中值定理可推出原函数有界。
步骤 4/4
目标：分析选项D
考虑反例f(x)=√x在(0,1)内有界，但f'(x)=1/(2√x)在(0,1)内无界，因此D错误。
提示：函数有界不能保证导数有界，如√x在(0,1)。
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