kaoyan3basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 第21题 21 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠署笔记
💡 答案解析
**答案**：$6$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}$，则积分上限为$\displaystyle \frac{x^3}{6}$阶。 步骤2：$\ln(1+t)\sim t$，则$\displaystyle F(x)\sim\int_0^{x^3/6}tdt=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3}{6}\right)^2=\frac{x^6}{72}$，故$n=6$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分上限的阶数
当 x→0 时，x - sin x ~ x^3/6，因此积分上限是 x^3/6 阶的无穷小。
公式：x - sin x ~ x^3/6
提示：常用等价无穷小：x - sin x ~ x^3/6
步骤 2/3
目标：简化被积函数
当 t→0 时，ln(1+t) ~ t，因此被积函数可替换为 t。
公式：ln(1+t) ~ t
提示：常用等价无穷小：ln(1+t) ~ t
步骤 3/3
目标：计算积分并确定阶数
F(x) ~ ∫_0^{x^3/6} t dt = 1/2 * (x^3/6)^2 = x^6/72，所以 F(x) 是 x^6 阶的无穷小，故 n=6。
公式：∫_0^{u} t dt = u^2/2
提示：注意积分上限的阶数平方后得到最终阶数
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