kaoyan3basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 第22题 22 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，$b=2$ **解析**： 步骤1：$x\to0^+$时，分母$e^x+a\to1+a$，分子$\sin x(b\cos x-1)\sim x(b-1)$，极限为$\displaystyle \frac{b-1}{1+a}$。 步骤2：$x\to0^-$时，$\displaystyle \frac{\sin x}{\ln(1+3x)}\sim\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$。 步骤3：令两者相等得$\displaystyle \frac{b-1}{1+a}=\frac{1}{3}$，且分母不为0，取$a=1$，$b=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算右极限
当x→0+时，分母e^x+a→1+a，分子sin x(b cos x-1) ~ x(b-1)，因此右极限为(b-1)/(1+a)。
公式：lim_{x→0+} f(x) = (b-1)/(1+a)
提示：注意sin x ~ x，cos x ~ 1，所以b cos x -1 ~ b-1。
步骤 2/3
目标：计算左极限
当x→0-时，sin x ~ x，ln(1+3x) ~ 3x，因此左极限为1/3。
公式：lim_{x→0-} f(x) = 1/3
提示：利用等价无穷小替换。
步骤 3/3
目标：令左右极限相等
由极限存在得(b-1)/(1+a)=1/3，且分母1+a≠0。取a=1，b=2满足等式。
公式：(b-1)/(1+a)=1/3
提示：分母不为0，a≠-1。
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