kaoyan3basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 第23题 23 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \\ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$x\to0^+$时，$\displaystyle x-\arcsin x\sim -\frac{x^3}{6}$，分子$e^{ax^3}-1\sim ax^3$。 步骤2：右极限为$\displaystyle \frac{a}{-1/6}=-6a$，左极限为$6$，由连续性得$-6a=6$，故$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算右极限
当 x→0⁺ 时，分母 x - arcsin x ~ -x³/6，分子 e^{ax³} - 1 ~ ax³，因此 f(x) ~ ax³ / (-x³/6) = -6a。
公式：x - arcsin x ~ -x³/6, e^{ax³} - 1 ~ ax³
提示：使用等价无穷小替换简化极限计算。
步骤 2/2
目标：利用连续性建立方程
左极限 f(0⁻) = 6，右极限 f(0⁺) = -6a，由连续性得 -6a = 6，解得 a = -1。
公式：f(0⁻) = f(0⁺) = f(0)
提示：分段函数在分界点连续的条件是左右极限相等且等于函数值。
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