kaoyan3basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 第24题 24 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(1, e)$ **解析**： 步骤1：无穷间断点$x=e$，分母为零分子非零，故$(e-a)(e-b)=0$，且$e^e-b\neq0$。 步骤2：可去间断点$x=1$，分子$e-b=0$，即$b=e$，代入得$a=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定无穷间断点条件
由于x=e是无穷间断点，分母为零而分子非零。因此(e-a)(e-b)=0，且e^e - b ≠ 0。
公式：(e-a)(e-b)=0
提示：无穷间断点要求分母为0且分子不为0。
步骤 2/3
目标：确定可去间断点条件
由于x=1是可去间断点，分子为零，即e^1 - b = 0，解得b = e。
公式：e - b = 0 ⇒ b = e
提示：可去间断点要求分子为0，且分母也为0（但极限存在）。
步骤 3/3
目标：代入求解a
将b=e代入(e-a)(e-b)=0，得(e-a)(e-e)=0，即(e-a)*0=0，恒成立。但还需满足x=e时分子非零，即e^e - e ≠ 0，成立。另外，x=1时分母应为0（可去间断点），即(1-a)(1-b)=0，代入b=e得(1-a)(1-e)=0，由于1-e≠0，故1-a=0，解得a=1。
公式：(1-a)(1-e)=0 ⇒ a=1
提示：注意可去间断点处分母也为0，但极限存在。
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