kaoyan3basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 第25题 25 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(-\infty, 0)$ **解析**： 步骤1：当$x>0$时，$e^{nx}\to+\infty$，$f(x)=x^2$；当$x=0$时，$f(0)=0$；当$x<0$时，$e^{nx}\to0$，$f(x)=x$。 步骤2：分段函数为$f(x)=\begin{cases}x^2, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ x, & x<0\end{cases}$，在$x=0$处左极限$0$，右极限$0$，但$f(0)=0$，连续。 步骤3：$x>0$时连续，$x<0$时连续，故连续区间为$(-\infty,+\infty)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析极限表达式，根据x的不同取值范围确定f(x)的表达式
当x>0时，e^{nx}→+∞，分子分母同除以e^{nx}得f(x)=x^2；当x=0时，f(0)=0；当x<0时，e^{nx}→0，f(x)=x。
公式：f(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ x, & x<0 \end{cases}
提示：注意e^{nx}在x>0时趋于无穷，x<0时趋于0。
步骤 2/3
目标：判断分段函数在分段点x=0处的连续性
计算左极限：lim_{x→0^-} f(x)=0；右极限：lim_{x→0^+} f(x)=0；f(0)=0。左右极限相等且等于函数值，故f(x)在x=0处连续。
公式：\lim_{x\to 0^-}f(x)=0,\quad \lim_{x\to 0^+}f(x)=0,\quad f(0)=0
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
步骤 3/3
目标：确定连续区间
x>0时f(x)=x^2连续，x<0时f(x)=x连续，且x=0处连续，故f(x)在全体实数上连续，连续区间为(-∞,+∞)。
提示：基本初等函数在其定义域内连续。
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