kaoyan3basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 第20题 20 设 $f(x)$ 连续，$x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）
💡 答案解析
**答案**：$n+1$ **解析**： 步骤1：由条件$f(x)\sim c(x-a)^n$，则$\displaystyle \int_a^x f(t)dt\sim \frac{c}{n+1}(x-a)^{n+1}$。 步骤2：故为$n+1$阶无穷小。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(x)的等价无穷小形式
由条件，当x→a时，f(x)是x-a的n阶无穷小，即存在常数c≠0，使得f(x) ~ c(x-a)^n。
公式：f(x) ~ c(x-a)^n
提示：注意n阶无穷小的定义：f(x)与(x-a)^n同阶且非零。
步骤 2/3
目标：计算积分∫_a^x f(t)dt的等价无穷小
将f(t)的等价形式代入积分：∫_a^x f(t)dt ~ ∫_a^x c(t-a)^n dt = c/(n+1) (x-a)^{n+1}。
公式：∫_a^x (t-a)^n dt = (x-a)^{n+1}/(n+1)
提示：积分时注意变量替换u=t-a，或直接使用幂函数积分公式。
步骤 3/3
目标：得出阶数
由上述结果，∫_a^x f(t)dt ~ c/(n+1) (x-a)^{n+1}，因此它是x-a的n+1阶无穷小。
提示：无穷小的阶数由幂次决定。
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