kaoyan3basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 第19题 $\displaystyle 19 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{\mathrm{e}^{x}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：分子有理化：$\displaystyle \frac{(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x})(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})}{(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})(e^x-1)}=\frac{\tan x+\sin x}{2(e^x-1)}$。 步骤2：等价无穷小：$\tan x\sim x$，$\sin x\sim x$，$e^x-1\sim x$，得$\displaystyle \frac{2x}{2x}=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分子有理化，化简表达式
将分子乘以共轭式 $\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}$，分母不变，得到 $\frac{(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x})(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})}{(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})(e^x-1)} = \frac{\tan x+\sin x}{(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x})(e^x-1)}$。当 $x\to0$ 时，$\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x} \to 2$，因此原式等价于 $\frac{\tan x+\sin x}{2(e^x-1)}$。
公式：$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x} = \frac{\tan x+\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1-\sin x}}$
提示：分子有理化是处理根式差常用的方法，注意分母的极限为2。
步骤 2/2
目标：应用等价无穷小替换
当 $x\to0$ 时，$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$，$e^x-1 \sim x$。代入得 $\frac{x+x}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$。
公式：$\tan x \sim x$, $\sin x \sim x$, $e^x-1 \sim x$ (当 $x\to0$)
提示：注意等价无穷小替换的条件，确保替换后极限存在。
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