kaoyan3basic 高等数学 第602题
📝 题目
### 第602题 602 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^{\alpha}}$ 收敛，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \alpha>\frac{3}{2}$ **解析**： 步骤1：比较判别法，$\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}}{n^{\alpha}}\sim \frac{\sqrt{n}}{n^{\alpha}}=n^{\frac{1}{2}-\alpha}$。 步骤2：级数$\displaystyle \sum n^{\frac{1}{2}-\alpha}$收敛当且仅当$\displaystyle \frac{1}{2}-\alpha<-1$，即$\displaystyle \alpha>\frac{3}{2}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定通项的等价无穷小
当n→∞时，√(n+1) ~ √n，因此通项 ~ √n / n^α = n^(1/2 - α)。
公式：√(n+1)/n^α ~ n^(1/2 - α)
提示：注意n+1与n的等价关系，忽略低阶项。
步骤 2/2
目标：应用p-级数收敛条件
级数∑ n^(1/2 - α)是p-级数，其中p = α - 1/2。p-级数收敛当且仅当p > 1，即α - 1/2 > 1，解得α > 3/2。
公式：∑ n^p 收敛当且仅当 p < -1，即p-级数∑ 1/n^q 收敛当q>1
提示：注意指数形式：n^(1/2-α) = 1/n^(α-1/2)，所以α-1/2>1。
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