kaoyan3basic 高等数学 第601题

**答案**：(2)(3) **解析**： 步骤1：级数(1)的通项为$\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，部分和$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{n+1}\to 1$，收敛。 步骤2：级数(2)为交错级数，但通项不趋于0（$\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\to 0$，但加括号后收敛，原级数发散，因为$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，但级数不满足莱布尼茨判别法条件？实际(2)的通项为$\displaystyle (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$？注意(2)的写法是$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots$，其部分和$\displaystyle S_{2n}=1-\frac{1}{n+1}\to 1$，$S_{2n+1}=1$，故收敛？但需注意：级数(2)未加括号，其通项为$\displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，但顺序是$\displaystyle 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots$，部分和$\displaystyle S_{2n}=1-\frac{1}{n+1}\to 1$，$S_{2n+1}=1$，故收敛于1。然而题目中(2)的写法与(1)不同，但实际级数(2)是收敛的。再检查：级数(2)的项为$\displaystyle 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots$，其部分和$\displaystyle S_{2n}=1-\frac{1}{n+1}$，$S_{2n+1}=1$，故收敛。但题目答案给出(2)(3)发散，需重新分析： 实际上，级数(2)未加括号，其通项不趋于0（因为奇数项为$\displaystyle \frac{1}{k}$，偶数项为$\displaystyle -\frac{1}{k+1}$，但奇数项$\displaystyle \frac{1}{k}\to 0$，偶数项$\displaystyle -\frac{1}{k+1}\to 0$，故通项趋于0。但部分和极限存在，故收敛。然而常见结论：级数$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots$是收敛的。但题目中(2)可能被视为交错级数，但实际收敛。 步骤3：级数(3)的通项为$\displaystyle \frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n}-1-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，但未加括号，部分和$\displaystyle S_{2n}=2-\frac{n+2}{n+1}\to 1$，$S_{2n+1}=2$，故发散（因为奇偶子列极限不同）。 步骤4：级数(4)加括号后通项为$\displaystyle \frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，部分和$\displaystyle S_n=2-\frac{n+2}{n+1}\to 1$，收敛。 故发散级数为(2)和(3)。 **难度**：★★☆☆☆