kaoyan3basic 高等数学 第600题
📝 题目
### 第600题 600 某银行账户，以连续复利方式计息年利率为 $5 \%$ ，希望连续20年以每年12000元的速率取款，若 $t$ 以年为单位，为使 20 年后账户中余额为零，则初始存入的数额为 $\_\_\_\_$元．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 12000\times\frac{1-e^{-1}}{0.05}$ **解析**： 步骤1：连续复利下，初始存款$P$满足$P e^{0.05\times20}=\int_0^{20}12000 e^{0.05(20-t)}dt$。 步骤2：计算得$\displaystyle P=12000\int_0^{20}e^{-0.05t}dt=12000\times\frac{1-e^{-1}}{0.05}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：建立连续复利下初始存款与取款的关系式
设初始存款为P，连续复利年利率5%，20年后账户余额为零。考虑资金的时间价值，20年后账户中资金终值等于取款终值之和。即：P * e^(0.05*20) = ∫_0^20 12000 * e^(0.05*(20-t)) dt。
公式：P e^{0.05×20} = ∫_0^{20} 12000 e^{0.05(20-t)} dt
提示：连续复利终值公式：FV = PV * e^(rt)；连续取款的终值需用积分求和。
步骤 2/2
目标：化简方程并求解P
两边同时除以e^(0.05*20)，得P = ∫_0^20 12000 e^{-0.05t} dt。计算积分：∫_0^20 e^{-0.05t} dt = [-20 e^{-0.05t}]_0^20 = 20(1 - e^{-1})。因此P = 12000 * 20(1 - e^{-1})/20? 注意：积分结果应为(1-e^{-1})/0.05，因为∫ e^{-0.05t} dt = -20 e^{-0.05t}，从0到20得20(1-e^{-1})，再乘以12000得P = 12000 * 20(1-e^{-1}) = 240000(1-e^{-1})。但答案形式为12000*(1-e^{-1})/0.05，由于0.05=1/20，所以12000/0.05=240000，一致。
公式：P = 12000 ∫_0^{20} e^{-0.05t} dt = 12000 × (1-e^{-1})/0.05
提示：注意积分计算：∫ e^{kt} dt = (1/k)e^{kt}，此处k=-0.05。
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