kaoyan3basic 高等数学 第594题
📝 题目
### 第594题 594 方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=\sqrt{3}x^2-x$ **解析**： 步骤1：方程化为$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}$，令$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$y=ux$，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。 步骤2：代入得$\displaystyle u+x\frac{du}{dx}=u+\sqrt{1+u^2}$，即$\displaystyle x\frac{du}{dx}=\sqrt{1+u^2}$。 步骤3：分离变量$\displaystyle \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln(u+\sqrt{1+u^2})=\ln|x|+C$，即$u+\sqrt{1+u^2}=Cx$。 步骤4：由$y(1)=0$得$u(1)=0$，代入得$C=1$，故$u+\sqrt{1+u^2}=x$，解得$\displaystyle u=\frac{x^2-1}{2x}$，即$\displaystyle y=\frac{x^2-1}{2}$。 （注：按原题答案格式） **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程化为标准形式并引入变量替换
将方程化为 dy/dx = (y + √(x^2 + y^2))/x，令 u = y/x，则 y = ux，dy/dx = u + x du/dx。
公式：u = y/x, dy/dx = u + x du/dx
提示：注意齐次方程的典型形式，分子分母同除以x。
步骤 2/4
目标：代入并化简得到可分离变量的方程
代入得 u + x du/dx = u + √(1+u^2)，化简得 x du/dx = √(1+u^2)。
公式：x du/dx = √(1+u^2)
提示：化简时注意 √(x^2+y^2)/x = √(1+u^2)。
步骤 3/4
目标：分离变量并积分
分离变量得 du/√(1+u^2) = dx/x，两边积分得 ln(u + √(1+u^2)) = ln|x| + C，即 u + √(1+u^2) = Cx。
公式：∫ du/√(1+u^2) = ln(u+√(1+u^2)) + C
提示：注意积分常数C的写法，最终合并为乘性常数。
步骤 4/4
目标：利用初始条件确定常数并解出y
由 y(1)=0 得 u(1)=0，代入得 0+1 = C*1，所以 C=1。于是 u + √(1+u^2) = x。解此方程：移项得 √(1+u^2) = x - u，平方得 1+u^2 = x^2 - 2xu + u^2，化简得 2xu = x^2 - 1，所以 u = (x^2 - 1)/(2x)，即 y = ux = (x^2 - 1)/2。
公式：u = (x^2 - 1)/(2x), y = (x^2 - 1)/2
提示：解方程时注意平方可能引入增根，但此处满足条件。
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