kaoyan3basic 高等数学 第592题
📝 题目
### 第592题 $592 y^{\prime \prime}-4 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ． 593已知 $\displaystyle y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x, y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解，$y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+\frac{x}{4}e^{2x}$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-4y=0$的特征方程$r^2-4=0$，根$r=\pm2$，齐次通解$y_h=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$。 步骤2：非齐次项$e^{2x}$，$\lambda=2$是特征根，设特解$y^*=Axe^{2x}$。 步骤3：代入得$y^*=Axe^{2x}$，$y^{*'}=Ae^{2x}+2Axe^{2x}$，$y^{*''}=4Ae^{2x}+4Axe^{2x}$，代入方程得$4Ae^{2x}=e^{2x}$，$\displaystyle A=\frac{1}{4}$。 步骤4：通解$\displaystyle y=y_h+y^*=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+\frac{x}{4}e^{2x}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y''-4y=0，特征方程为 r^2-4=0，解得 r=±2，因此齐次通解为 y_h = C1 e^{2x} + C2 e^{-2x}。
公式：r^2-4=0, r=±2
提示：注意特征根为单根，通解形式为指数函数的线性组合。
步骤 2/4
目标：设非齐次方程的特解形式
非齐次项为 e^{2x}，λ=2 是特征根，故设特解 y* = A x e^{2x}。
公式：y* = A x e^{2x}
提示：当非齐次项指数与特征根相同时，需乘以 x 以保证线性无关。
步骤 3/4
目标：代入原方程确定系数 A
计算 y*' = A e^{2x} + 2A x e^{2x}，y*'' = 4A e^{2x} + 4A x e^{2x}，代入原方程得 (4A e^{2x} + 4A x e^{2x}) - 4(A x e^{2x}) = e^{2x}，化简得 4A e^{2x} = e^{2x}，所以 A = 1/4。
公式：4A e^{2x} = e^{2x} ⇒ A = 1/4
提示：代入后注意合并同类项，消去含 x 的项。
步骤 4/4
目标：写出非齐次方程的通解
通解 y = y_h + y* = C1 e^{2x} + C2 e^{-2x} + (x/4) e^{2x}。
公式：y = C1 e^{2x} + C2 e^{-2x} + (x/4) e^{2x}
提示：最终结果需包含两个任意常数。
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