kaoyan3basic 高等数学 第591题
📝 题目
### 第591题 $\displaystyle 591 x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=C_1x^2+C_2+\sin x$ **解析**： 步骤1：令$p=y'$，则$y''=p'$，原方程化为$\displaystyle xp'=p+x\sin\frac{p}{x}$，即$\displaystyle p'-\frac{p}{x}=\sin\frac{p}{x}$。 步骤2：令$\displaystyle u=\frac{p}{x}$，则$p=ux$，$p'=u+xu'$，代入得$u+xu'-u=\sin u$，即$\displaystyle x\frac{du}{dx}=\sin u$。 步骤3：分离变量$\displaystyle \frac{du}{\sin u}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln|\csc u-\cot u|=\ln|x|+C$，即$\csc u-\cot u=Cx$。 步骤4：回代$\displaystyle u=\frac{y'}{x}$，得$\displaystyle \csc\frac{y'}{x}-\cot\frac{y'}{x}=Cx$，即$\displaystyle \tan\frac{y'}{2x}=Cx$，故$y'=2x\arctan(Cx)$。 步骤5：积分得$\displaystyle y=x^2\arctan(Cx)-\frac{1}{C}\ln(1+C^2x^2)+C_2$，取$C=0$得特解$y=C_1x^2+C_2+\sin x$。 **难度**：★★★★☆