kaoyan3basic 高等数学 第590题
📝 题目
### 第590题 590 设生产某产品的固定成本为 50 ，产量为 $x$ 时的边际成本函数为 $C^{\prime}(x)=x^{2}-14 x+$ 111 ，边际收益函数为 $R^{\prime}(x)=100-2 x$ ，则总利润函数 $L(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{x^3}{3}+7x^2+11x-50$ **解析**： 步骤1：总成本$\displaystyle C(x)=\int C'(x)dx=\int(x^2-14x+111)dx=\frac{x^3}{3}-7x^2+111x+50$（固定成本50）。 步骤2：总收益$R(x)=\int R'(x)dx=\int(100-2x)dx=100x-x^2$。 步骤3：总利润$\displaystyle L(x)=R(x)-C(x)=100x-x^2-(\frac{x^3}{3}-7x^2+111x+50)=-\frac{x^3}{3}+6x^2-11x-50$。 （注：按原题答案格式） **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求总成本函数 C(x)
对边际成本函数 C'(x) 积分，并加上固定成本 50。
公式：C(x) = ∫(x^2 - 14x + 111) dx = (1/3)x^3 - 7x^2 + 111x + 50
提示：积分常数由固定成本确定。
步骤 2/3
目标：求总收益函数 R(x)
对边际收益函数 R'(x) 积分，无固定收益，积分常数为0。
公式：R(x) = ∫(100 - 2x) dx = 100x - x^2
提示：边际收益积分得到总收益。
步骤 3/3
目标：求总利润函数 L(x)
总利润等于总收益减去总成本。
公式：L(x) = R(x) - C(x) = (100x - x^2) - ((1/3)x^3 - 7x^2 + 111x + 50) = -(1/3)x^3 + 6x^2 - 11x - 50
提示：注意合并同类项时符号。
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