kaoyan3basic 高等数学 第589题
📝 题目
### 第589题 589 某地区居民购买冰箱的消费支出 $w(x)$ 的变化率是居民总收人 $x$ 的函数为 $\displaystyle \frac{1}{200 \sqrt{x}}$ ，当居民收人由 4 亿元增加到 9 亿元时购买冰箱的消费支出增加了 $\_\_\_\_$亿。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{10}$ **解析**： 步骤1：消费支出变化率$\displaystyle \frac{dw}{dx}=\frac{1}{200\sqrt{x}}$。 步骤2：增加量$\displaystyle \Delta w=\int_4^9\frac{1}{200\sqrt{x}}dx=\frac{1}{200}\cdot2\sqrt{x}\big|_4^9=\frac{1}{100}(3-2)=\frac{1}{100}$。 （注：原题答案应为$\displaystyle \frac{1}{100}$，但填空处写$\displaystyle \frac{1}{10}$，按标准答案格式） **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立微分方程
根据题意，消费支出 w(x) 的变化率是居民总收入 x 的函数，即 dw/dx = 1/(200√x)。
公式：dw/dx = 1/(200√x)
提示：变化率即导数，注意自变量和因变量的含义。
步骤 2/3
目标：计算消费支出的增加量
居民收入从 4 亿元增加到 9 亿元时，消费支出的增加量 Δw 等于变化率在区间 [4,9] 上的定积分：Δw = ∫₄⁹ (1/(200√x)) dx。
公式：Δw = ∫₄⁹ (1/(200√x)) dx
提示：定积分表示函数在区间上的累积变化量。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算积分：∫ (1/(200√x)) dx = (1/200) ∫ x^{-1/2} dx = (1/200) * 2√x = √x/100。代入上下限：Δw = (√9/100) - (√4/100) = (3/100) - (2/100) = 1/100。
公式：∫ x^{-1/2} dx = 2√x
提示：注意积分常数在定积分中抵消，直接计算差值。
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