kaoyan3basic 高等数学 第595题
📝 题目
### 第595题 595 设函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$ ，且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 满足 $y(1)=-2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=2x^2-4x$ **解析**： 步骤1：解微分方程$xf'(x)-2f(x)=-4x$，化为$\displaystyle f'(x)-\frac{2}{x}f(x)=-4$，一阶线性微分方程。 步骤2：通解$\displaystyle f(x)=e^{\int\frac{2}{x}dx}\left[\int(-4)e^{-\int\frac{2}{x}dx}dx+C\right]=x^2\left[\int-\frac{4}{x^2}dx+C\right]=x^2\left(\frac{4}{x}+C\right)=4x+Cx^2$。 步骤3：旋转体体积$V=\pi\int_1^b[f(x)]^2dx$，由条件体积最小得$f(1)=0$，代入得$4+C=0$，$C=-4$，故$f(x)=4x-4x^2$。 （注：按原题答案格式） **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：解微分方程求f(x)通解
将方程化为标准形式：f'(x) - (2/x)f(x) = -4，这是一阶线性微分方程。利用通解公式，先求积分因子μ(x)=e^{∫(-2/x)dx}=x^{-2}，然后f(x)=x^2[∫(-4)x^{-2}dx+C]=x^2(4/x+C)=4x+Cx^2。
公式：f'(x) - (2/x)f(x) = -4，通解f(x)=e^{∫(2/x)dx}[∫(-4)e^{-∫(2/x)dx}dx+C]
提示：注意一阶线性微分方程的标准形式及求解步骤。
步骤 2/2
目标：利用旋转体体积最小条件确定常数C
曲线y=f(x)与直线x=1及x轴围成的图形绕x轴旋转，体积V=π∫_1^b [f(x)]^2 dx，其中b是曲线与x轴的交点（除x=1外）。体积最小要求f(1)=0，否则体积可更小。代入f(1)=4+C=0，得C=-4，故f(x)=4x-4x^2。
公式：V=π∫_1^b [f(x)]^2 dx，最小体积条件f(1)=0
提示：理解旋转体体积公式及极值条件。
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