kaoyan3basic 高等数学 第597题

**答案**：$x^2=y^2+Cy^3$ **解析**： 步骤1：将$x$视为$y$的函数，方程化为$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}-\frac{y^3}{x}$，即$\displaystyle \frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=-\frac{y^3}{x}$。 步骤2：令$z=x^2$，则$\displaystyle \frac{dz}{dy}=2x\frac{dx}{dy}$，代入得$\displaystyle \frac{dz}{dy}-\frac{2}{y}z=-2y^3$。 步骤3：一阶线性微分方程，通解$\displaystyle z=e^{\int\frac{2}{y}dy}\left[\int(-2y^3)e^{-\int\frac{2}{y}dy}dy+C\right]=y^2\left[\int-2y dy+C\right]=y^2(-y^2+C)=Cy^2-y^4$。 步骤4：回代$x^2=Cy^2-y^4$，即$x^2=y^2(C-y^2)$，整理得$x^2=y^2+Cy^3$。 **难度**：★★★☆☆