kaoyan3basic 高等数学 第598题
📝 题目
### 第598题 598 差分方程 $y_{t+1}+5 y_{t}-3 t^{2}+t=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y_t=C(-5)^t+\frac{1}{2}t^2-\frac{7}{18}t+\frac{49}{108}$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y_{t+1}+5y_t=0$的通解$y_t^{(h)}=C(-5)^t$。 步骤2：设特解$y_t^*=At^2+Bt+C$，代入得$A(t+1)^2+B(t+1)+C+5(At^2+Bt+C)=3t^2-t$。 步骤3：比较系数得$6A=3$，$2A+6B=-1$，$A+B+6C=0$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，$\displaystyle B=-\frac{7}{18}$，$\displaystyle C=\frac{49}{108}$。 步骤4：通解$\displaystyle y_t=C(-5)^t+\frac{1}{2}t^2-\frac{7}{18}t+\frac{49}{108}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解齐次方程的通解
先解对应的齐次差分方程 y_{t+1} + 5y_t = 0。其特征方程为 r + 5 = 0，解得 r = -5，故齐次通解为 y_t^{(h)} = C(-5)^t。
公式：y_{t+1} + 5y_t = 0 的通解为 y_t = C(-5)^t
提示：齐次差分方程的通解形式取决于特征根，这里特征根为 -5。
步骤 2/4
目标：设特解形式并代入原方程
由于非齐次项为 -3t^2 + t，是二次多项式，故设特解 y_t^* = At^2 + Bt + C。代入原方程 y_{t+1} + 5y_t = 3t^2 - t，得 A(t+1)^2 + B(t+1) + C + 5(At^2 + Bt + C) = 3t^2 - t。
公式：y_t^* = At^2 + Bt + C
提示：注意非齐次项是多项式，特解设为同次多项式，但需检查是否与齐次解冲突，这里不冲突。
步骤 3/4
目标：比较系数求解特解参数
展开左边：A(t^2+2t+1) + Bt + B + C + 5At^2 + 5Bt + 5C = (6A)t^2 + (2A+6B)t + (A+B+6C)。与右边 3t^2 - t 比较系数得：6A=3，2A+6B=-1，A+B+6C=0。解得 A=1/2，B=-7/18，C=49/108。
公式：6A=3, 2A+6B=-1, A+B+6C=0
提示：比较系数时注意常数项也要对应，右边常数项为0。
步骤 4/4
目标：写出通解
非齐次方程的通解为齐次通解加上特解：y_t = C(-5)^t + (1/2)t^2 - (7/18)t + 49/108。
公式：y_t = C(-5)^t + \frac{1}{2}t^2 - \frac{7}{18}t + \frac{49}{108}
提示：通解中C为任意常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。