kaoyan3basic 高等数学 第270题
📝 题目
### 第270题 270 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：在区域$D$上，$\displaystyle \frac{1}{2} \leq x+y \leq 1$，故$\displaystyle (x+y)^3 \in [\frac{1}{8}, 1]$。$\ln(x+y)^3 = 3\ln(x+y) \leq 0$，且$\sin(x+y)^3 > 0$（因为$(x+y)^3 \in (0,1]$，正弦为正）。比较大小：$\ln(x+y)^3 < 0 < \sin(x+y)^3 < (x+y)^3$，故$I_1 < I_3 < I_2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域D中x+y的取值范围
由区域D由直线x+y=1/2, x+y=1及坐标轴围成，可知在D上，x+y的取值范围是[1/2, 1]。
提示：注意边界条件：x+y从1/2到1。
步骤 2/3
目标：分析被积函数在区域上的符号和大小关系
令t=x+y，则t∈[1/2,1]。比较三个被积函数：f1=ln(t^3)=3ln t，由于t≤1，ln t≤0，故f1≤0；f2=t^3，在[1/2,1]上t^3∈[1/8,1]；f3=sin(t^3)，由于t^3∈(0,1]，sin为正且小于t^3（因为sin x < x for x>0）。因此有ln(t^3) < 0 < sin(t^3) < t^3。
公式：sin x < x for x>0
提示：利用常见不等式：当x>0时，sin x < x。
步骤 3/3
目标：比较三个积分的大小
由于在区域D上，被积函数处处满足ln(t^3) < sin(t^3) < t^3，且区域面积相同，因此积分值满足I1 < I3 < I2。
提示：积分保序性：若f≤g，则∫f≤∫g。
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