kaoyan3basic 高等数学 第271题
📝 题目
### 第271题 271 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 272已知平面域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x\left|+|y| \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}\right.$ ，记 $I_{1}=\iint_{D}\left(2 x^{2}+\tan x y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}\left(x^{2} y+2 \tan y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D}\left(|x y|+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则
💡 答案解析
**答案**：C；D **解析**：第一空：$\displaystyle I_i = \iint_{D_i} [1-(x^2+\frac{1}{2}y^2)] d\sigma$，被积函数在椭圆$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{2}=1$上为$0$，内部为正，外部为负。$D_1$为单位圆，$D_2$为半径$\sqrt{2}$的圆，$D_3$为椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1$，$D_4$为椭圆$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{2}=1$。$D_3$恰好是被积函数为正的区域（因为$\displaystyle x^2+\frac{1}{2}y^2 \leq 1$），故$I_3$最大。 第二空：区域$D$关于$x$轴和$y$轴对称。$I_1$中$2x^2$为偶函数，$\tan(xy^2)$为奇函数（关于$x$或$y$），故$\iint_D \tan(xy^2) d\sigma = 0$，$I_1 = \iint_D 2x^2 d\sigma > 0$。$I_2$中$x^2y$为奇函数（关于$y$），$2\tan y^2$为偶函数，故$\iint_D x^2y d\sigma = 0$，$I_2 = \iint_D 2\tan y^2 d\sigma$，由于$\displaystyle |y| \leq \frac{\pi}{2}$，$\tan y^2 \geq 0$，故$I_2 > 0$。$I_3$中$|xy|$和$y^2$均为非负，且$|xy|$在部分区域非零，故$I_3 > 0$。比较大小：在$D$上，$2x^2$与$2\tan y^2$，由于$\tan y^2 \geq y^2$，且$y^2$与$x^2$对称，但$D$为菱形，面积相同，需具体比较。取特殊点：$(0,0)$处均为$0$，边界上$\displaystyle |x|+|y|=\frac{\pi}{2}$，$2x^2$最大为$\displaystyle 2(\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{2}$，$2\tan y^2$最大为$\displaystyle 2\tan(\frac{\pi}{2})^2$发散？实际上$\displaystyle y^2 \leq (\frac{\pi}{2})^2$，$\tan$有限。更简单：由于$\displaystyle |xy| \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，且$y^2$项，$I_3$包含$y^2$和$|xy|$，而$I_1$只有$x^2$，$I_2$只有$\tan y^2$，由对称性，$I_3$最大。比较$I_1$和$I_2$：令$u=x, v=y$，$I_1=2\iint_D x^2 d\sigma$，$I_2=2\iint_D \tan y^2 d\sigma$，由于$\tan y^2 \geq y^2$，且区域关于$x,y$对称，$\iint_D x^2 d\sigma = \iint_D y^2 d\sigma$，故$I_2 \geq 2\iint_D y^2 d\sigma = I_1$，等号仅当$y=0$，不成立，故$I_2 > I_1$。因此$I_3 > I_2 > I_1$。 **难度**：★★★★☆