kaoyan3basic 高等数学 第273题
📝 题目
### 第273题 273 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：由积分中值定理，$\iint_{x^2+y^2 \leq r^2} f(x,y) d\sigma = f(\xi,\eta) \cdot \pi r^2$，其中$(\xi,\eta)$在圆内，当$r \to 0^+$时，$(\xi,\eta) \to (0,0)$，故分子$\sim f(0,0) \pi r^2$。分母$g(r^2) \sim g'(0) r^2 = a r^2$，因此极限为$\displaystyle \frac{f(0,0)\pi}{a}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用积分中值定理简化分子
由积分中值定理，存在点(ξ,η)在圆盘x^2+y^2≤r^2内，使得∬_{x^2+y^2≤r^2} f(x,y) dxdy = f(ξ,η)·πr^2。当r→0^+时，(ξ,η)→(0,0)，且f连续，故f(ξ,η)→f(0,0)。因此分子～f(0,0)πr^2。
公式：∬_{x^2+y^2≤r^2} f(x,y) dxdy = f(ξ,η)·πr^2
提示：注意积分中值定理的条件：f连续，区域为闭区域。
步骤 2/3
目标：利用导数定义简化分母
分母为g(r^2)。由于g(0)=0，g'(0)=a≠0，由导数定义，当r→0时，g(r^2)～g'(0)·r^2 = a r^2。
公式：g(r^2) ~ g'(0) r^2 = a r^2
提示：等价无穷小替换时需确保g'(0)存在且非零。
步骤 3/3
目标：计算极限
原极限 = lim_{r→0^+} [f(ξ,η)πr^2] / (a r^2) = π f(0,0)/a。
公式：lim_{r→0^+} (f(ξ,η)πr^2)/(a r^2) = π f(0,0)/a
提示：注意r^2约去后，极限值由f(0,0)和a决定。
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