kaoyan3basic 高等数学 第274题
📝 题目
### 第274题 274 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于 （A）$x y$ ． （B） $2 x y$ ． （C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ． （D）$x y+1$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：设$A = \iint_D f(u,v) du dv$，则$f(x,y)=xy+A$。两边在$D$上积分：$A = \iint_D (xy+A) d\sigma = \iint_D xy d\sigma + A \cdot \sigma(D)$。区域$D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^2$，面积$\displaystyle \sigma(D)=\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$，$\displaystyle \iint_D xy d\sigma = \int_0^1 x dx \int_0^{x^2} y dy = \int_0^1 x \cdot \frac{x^4}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^5 dx = \frac{1}{12}$。故$\displaystyle A = \frac{1}{12} + \frac{1}{3}A$，解得$\displaystyle A = \frac{1}{8}$，因此$\displaystyle f(x,y)=xy+\frac{1}{8}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设常数A表示二重积分
由于f(x,y)连续，且等式右边含有二重积分，该积分是一个常数，设为A，即A = ∬_D f(u,v) du dv。则f(x,y) = xy + A。
公式：A = ∬_D f(u,v) du dv
提示：注意二重积分的结果是常数，这是解题的关键。
步骤 2/6
目标：在区域D上对等式两边积分
将f(x,y)=xy+A代入A的表达式，得A = ∬_D (xy + A) dσ = ∬_D xy dσ + A·σ(D)，其中σ(D)是区域D的面积。
公式：A = ∬_D xy dσ + A·σ(D)
提示：积分时注意常数A可以提出积分号。
步骤 3/6
目标：计算区域D的面积σ(D)
区域D由y=0, y=x^2, x=1围成，即0≤x≤1, 0≤y≤x^2。面积σ(D)=∫_0^1 x^2 dx = 1/3。
公式：σ(D) = ∫_0^1 x^2 dx = 1/3
提示：面积计算是基础，注意积分上下限。
步骤 4/6
目标：计算二重积分∬_D xy dσ
∬_D xy dσ = ∫_0^1 x dx ∫_0^{x^2} y dy = ∫_0^1 x · (1/2)x^4 dx = (1/2)∫_0^1 x^5 dx = (1/2)·(1/6)=1/12。
公式：∬_D xy dσ = 1/12
提示：先对y积分，再对x积分，注意幂函数积分公式。
步骤 5/6
目标：解出常数A
代入得A = 1/12 + (1/3)A，移项得A - (1/3)A = 1/12，即(2/3)A = 1/12，解得A = 1/8。
公式：A = 1/8
提示：解一元一次方程，注意分数运算。
步骤 6/6
目标：写出f(x,y)表达式
将A=1/8代入f(x,y)=xy+A，得f(x,y)=xy+1/8。
公式：f(x,y)=xy+1/8
提示：最终结果与选项C一致。
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