kaoyan3basic 高等数学 第268题
📝 题目
### 第268题 268 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ． 269 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于
💡 答案解析
**答案**：B；C **解析**：第一空：区域$D$为圆环$1 \leq x^2+y^2 \leq 9$被直线$x=\sqrt{3}y$（即$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$）和$y=\sqrt{3}x$（即$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$）所夹部分，故$\theta$从$\displaystyle \frac{\pi}{6}$到$\displaystyle \frac{\pi}{3}$，$r$从$1$到$3$。被积函数$\displaystyle \arctan\frac{y}{x} = \theta$，则积分$\displaystyle =\int_{\pi/6}^{\pi/3} \theta d\theta \int_1^3 r dr = \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{\pi/6}^{\pi/3} \cdot \left[ \frac{r^2}{2} \right]_1^3 = \frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{9}-\frac{\pi^2}{36}) \cdot \frac{1}{2}(9-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{12} \cdot 4 = \frac{\pi^2}{6}$。 第二空：交换积分次序：$0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1$，则$I=\int_0^1 dx \int_x^1 \sqrt{x^2+y^2} dy$。用极坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，区域为$\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, 0 \leq r \leq \frac{1}{\cos\theta}$，则$\displaystyle I=\int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^{1/\cos\theta} r \cdot r dr = \int_0^{\pi/4} d\theta \cdot \frac{1}{3\cos^3\theta} = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/4} \sec^3\theta d\theta$。$\displaystyle \int \sec^3\theta d\theta = \frac{1}{2}(\sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)$，代入上下限得$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (\sqrt{2} \cdot 1 + \ln(\sqrt{2}+1) - 0) = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{6}\ln(\sqrt{2}+1)$。 **难度**：★★★★☆