kaoyan3basic 高等数学 第266题
📝 题目
### 第266题 266 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ． 267设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
💡 答案解析
**答案**：C；C **解析**：第一空：区域$D$由$y=x$和$y^2=x$围成，交点$(0,0)$和$(1,1)$，用$y$型：$0 \leq y \leq 1, y^2 \leq x \leq y$，则$\displaystyle \iint_D \frac{\sin\pi y}{y} d\sigma = \int_0^1 \frac{\sin\pi y}{y} dy \int_{y^2}^y dx = \int_0^1 \frac{\sin\pi y}{y} (y-y^2) dy = \int_0^1 (1-y)\sin\pi y dy$。分部积分：$\displaystyle \int_0^1 \sin\pi y dy = \frac{2}{\pi}$，$\displaystyle \int_0^1 y\sin\pi y dy = \frac{1}{\pi}$，故结果为$\displaystyle \frac{2}{\pi} - \frac{1}{\pi} = \frac{1}{\pi}$。 第二空：区域关于$x$轴和$y$轴对称，且被积函数$\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}$为偶函数，故$I=4\iint_{D_1} (\sqrt{x}+\sqrt{y}) dx dy$，其中$D_1$为第一象限部分：$x \geq 0, y \geq 0, \sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 1$。令$u=\sqrt{x}, v=\sqrt{y}$，则$x=u^2, y=v^2$，雅可比行列式$J=4uv$，区域变为$u \geq 0, v \geq 0, u+v \leq 1$。则$I=4\iint_{u+v \leq 1, u,v \geq 0} (u+v) \cdot 4uv du dv = 16 \int_0^1 du \int_0^{1-u} (u+v)uv dv$。先对$v$积分：$\displaystyle \int_0^{1-u} (u^2 v + u v^2) dv = u^2 \cdot \frac{(1-u)^2}{2} + u \cdot \frac{(1-u)^3}{3} = \frac{u^2(1-u)^2}{2} + \frac{u(1-u)^3}{3}$。再对$u$积分：$\displaystyle \int_0^1 \left[ \frac{u^2(1-u)^2}{2} + \frac{u(1-u)^3}{3} \right] du = \frac{1}{2} \int_0^1 (u^2-2u^3+u^4) du + \frac{1}{3} \int_0^1 (u-3u^2+3u^3-u^4) du = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}) + \frac{1}{3}(\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{5}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{30} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{60} + \frac{1}{60} = \frac{1}{30}$。乘以16得$\displaystyle \frac{8}{15}$。 **难度**：★★★★☆