kaoyan3basic 高等数学 第264题
📝 题目
### 第264题 264 设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ． 265 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
💡 答案解析
**答案**：B；C **解析**：第一空：区域$D$为正方形$[-1,1]\times[-1,1]$去掉圆$x^2+y^2 < x$的部分。由对称性，$\iint_D |xy| d\sigma = 4\iint_{D_1} xy d\sigma$，其中$D_1$为第一象限部分。第一象限内$D_1$为$0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$去掉$x^2+y^2 < x$（即$\displaystyle (x-\frac{1}{2})^2+y^2 < \frac{1}{4}$）的部分。正方形第一象限积分$\displaystyle \int_0^1 dx \int_0^1 xy dy = \frac{1}{4}$。圆内第一象限部分：$0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq \sqrt{x-x^2}$，积分$\displaystyle \int_0^1 x dx \int_0^{\sqrt{x-x^2}} y dy = \frac{1}{2} \int_0^1 x(x-x^2) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x^2-x^3) dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{1}{24}$。故$\displaystyle \iint_{D_1} xy d\sigma = \frac{1}{4} - \frac{1}{24} = \frac{5}{24}$，乘以4得$\displaystyle \frac{5}{6}$。 第二空：交换积分次序：$0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq y^2$，则$\displaystyle I=\int_0^1 e^{-y^2} dy \int_0^{y^2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_0^1 e^{-y^2} \cdot 2y dy = \int_0^1 e^{-y^2} d(y^2) = -e^{-y^2} \big|_0^1 = 1-\frac{1}{e}$。 **难度**：★★★☆☆