kaoyan3basic 高等数学 第263题
📝 题目
### 第263题 263 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，区域$D$为$\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq \frac{1}{\cos\theta}$（边界$x=1$）和$\displaystyle 0 \leq r \leq \frac{1}{\sin\theta}$（边界$y=1$），需分块。更简单：直接计算$\displaystyle I=\int_0^1 dx \int_0^1 \frac{dy}{(1+x^2+y^2)^{3/2}}$。先对$y$积分：$\displaystyle \int_0^1 \frac{dy}{(1+x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \big|_0^1 = \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{2+x^2}}$。则$\displaystyle I=\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{2+x^2}}$。令$x=\sqrt{2}\tan t$，则$dx=\sqrt{2}\sec^2 t dt$，$1+x^2=1+2\tan^2 t$，$\sqrt{2+x^2}=\sqrt{2}\sec t$，积分限$t$从$0$到$\displaystyle \arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$。化简得$\displaystyle I=\int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{2}\sec^2 t}{(1+2\tan^2 t)\sqrt{2}\sec t} dt = \int_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sec t}{1+2\tan^2 t} dt$。利用$\displaystyle \sec t = \frac{1}{\cos t}$，$\displaystyle 1+2\tan^2 t = \frac{\cos^2 t+2\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1+\sin^2 t}{\cos^2 t}$，则被积函数为$\displaystyle \frac{\cos t}{1+\sin^2 t}$。积分得$\displaystyle \arctan(\sin t) \big|_0^{\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}} = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$。 **难度**：★★★★☆