kaoyan3basic 高等数学 第262题
📝 题目
### 第262题 262 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$D: (x-1)^2+(y-1)^2 \leq 2$，圆心$(1,1)$，半径$\sqrt{2}$。令$u=x-1, v=y-1$，则$D$变为$u^2+v^2 \leq 2$，被积函数$x^2+xy+y^2 = (u+1)^2+(u+1)(v+1)+(v+1)^2 = u^2+uv+v^2+3u+3v+3$。由对称性，奇函数项积分为$0$，故积分$=\iint_{u^2+v^2 \leq 2} (u^2+v^2+3) d\sigma$。极坐标：$\displaystyle \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} (r^2+3) r dr = 2\pi \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{3r^2}{2} \right]_0^{\sqrt{2}} = 2\pi (1+3)=8\pi$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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