kaoyan3basic 高等数学 第261题
📝 题目
### 第261题 261 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：区域$D$由$y=x, y=x+1, y=1, y=3$围成，用$y$型积分：$1 \leq y \leq 3, y-1 \leq x \leq y$，则$\displaystyle \iint_D y d\sigma = \int_1^3 y dy \int_{y-1}^y dx = \int_1^3 y \cdot 1 dy = \frac{1}{2}(9-1)=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域类型并写出不等式
观察区域由直线 y=x, y=x+1, y=1, y=3 围成，选择 y 型积分，即先对 x 后对 y 积分。y 的范围从 1 到 3，对于每个 y，x 的范围从直线 y=x 到 y=x+1，即 x 从 y-1 到 y。
公式：D: 1 ≤ y ≤ 3, y-1 ≤ x ≤ y
提示：画图可帮助确定积分次序和边界。
步骤 2/4
目标：写出二重积分并化为累次积分
将二重积分化为先 x 后 y 的累次积分：∬_D y dσ = ∫_{y=1}^{3} ∫_{x=y-1}^{y} y dx dy。
公式：∬_D y dσ = ∫_1^3 dy ∫_{y-1}^y y dx
提示：注意被积函数 y 与 x 无关，可先对 x 积分。
步骤 3/4
目标：计算内层积分
对 x 积分，y 视为常数：∫_{x=y-1}^{y} y dx = y * (y - (y-1)) = y * 1 = y。
公式：∫_{y-1}^y y dx = y
提示：内层积分结果简单，直接得到 y。
步骤 4/4
目标：计算外层积分
外层积分 ∫_1^3 y dy = (1/2)y^2|_1^3 = (1/2)(9 - 1) = 4。
公式：∫_1^3 y dy = 4
提示：利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。
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