kaoyan3basic 高等数学 第260题
📝 题目
### 第260题 260 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：交换积分次序：$0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq \sqrt{y}$，则$\displaystyle I=\int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} \frac{xy}{\sqrt{1+y^3}} dx = \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{1+y^3}} \cdot \frac{y}{2} dy = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}} dy$。令$u=1+y^3$，则$du=3y^2 dy$，积分限$u$从$1$到$2$，得$\displaystyle I=\frac{1}{6} \int_1^2 u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：交换积分次序
原积分区域由 $0 \leq x \leq 1$, $x^2 \leq y \leq 1$ 描述。交换次序后，$0 \leq y \leq 1$, $0 \leq x \leq \sqrt{y}$，则 $I = \int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} \frac{xy}{\sqrt{1+y^3}} dx$。
公式：交换积分次序：$\int_0^1 dx \int_{x^2}^1 f(x,y) dy = \int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y}} f(x,y) dx$
提示：画出积分区域，确定 $y$ 的范围和 $x$ 的上下限。
步骤 2/5
目标：计算内层积分
对 $x$ 积分：$\int_0^{\sqrt{y}} \frac{xy}{\sqrt{1+y^3}} dx = \frac{y}{\sqrt{1+y^3}} \cdot \frac{1}{2} (\sqrt{y})^2 = \frac{y^2}{2\sqrt{1+y^3}}$。
公式：$\int_0^{\sqrt{y}} x dx = \frac{1}{2} y$
提示：注意 $y$ 视为常数。
步骤 3/5
目标：化简积分表达式
代入得 $I = \int_0^1 \frac{y^2}{2\sqrt{1+y^3}} dy = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}} dy$。
步骤 4/5
目标：换元积分
令 $u = 1 + y^3$，则 $du = 3y^2 dy$，$y^2 dy = \frac{1}{3} du$。当 $y=0$ 时 $u=1$，$y=1$ 时 $u=2$。于是 $I = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{6} \int_1^2 u^{-1/2} du$。
公式：$\int u^{-1/2} du = 2\sqrt{u}$
提示：注意换元后积分限的变化。
步骤 5/5
目标：计算定积分
$\frac{1}{6} \cdot 2(\sqrt{2} - \sqrt{1}) = \frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1)$。
提示：结果化简。
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