kaoyan3basic 高等数学 第258题
📝 题目
### 第258题 258 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成
💡 答案解析
**答案**：B；B **解析**：第一空：极坐标下$r$从$\displaystyle \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$到$1$，对应直角坐标中直线$x+y=1$和圆$x^2+y^2=1$，且$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，故区域为$0 \leq x \leq 1, 1-x \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。极坐标面积元$d\sigma = r dr d\theta$，需除以$r$转换为直角坐标，即$\displaystyle \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$。 第二空：极坐标下$r$从$0$到$2\sin\theta$，对应圆$x^2+(y-1)^2=1$，$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，故区域为$0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{2x-x^2}$。 **难度**：★★★☆☆