kaoyan3basic 高等数学 第257题
📝 题目
### 第257题 257 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：积分区域由$0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1$和$1 \leq y \leq 2, 0 \leq x \leq 2-y$组成，合并后区域为$0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2-x$，故可写成$\int_0^1 dx \int_x^{2-x} f(x,y) dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析积分区域
第一个积分：x从0到1，y从x到1；第二个积分：y从1到2，x从0到2-y。画出区域：由直线y=x, y=1, x=0, x=2-y围成。
提示：注意第二个积分中y是外层变量，x是内层变量。
步骤 2/3
目标：合并积分区域
两个区域合并后，x的范围是0到1，y的下界是x，上界是2-x（因为当x∈[0,1]时，直线y=2-x在y=1上方）。
提示：检查边界：当x=0时，y从0到2；当x=1时，y从1到1。
步骤 3/3
目标：写出合并后的积分
因此累次积分可写成∫₀¹ dx ∫_x^{2-x} f(x,y) dy。
公式：∫₀¹ dx ∫_x^{2-x} f(x,y) dy
提示：对应选项C。
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