kaoyan3basic 高等数学 第75题
📝 题目
### 第75题 75 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$ ，则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2A}{3}$ **解析**： 步骤1：令$u = 3x + T$，则$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\mathrm{d}u$，$x=0$时$u=T$，$x=2T$时$u=7T$，原式$\displaystyle = \frac{1}{3}\int_{T}^{7T} f(u) \mathrm{d}u$。 步骤2：$f$以$T$为周期，$\int_{T}^{7T} f(u) \mathrm{d}u = 6\int_{0}^{T} f(u) \mathrm{d}u = 6A$，故原式$\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot 6A = 2A$。 **答案更正**：周期函数积分性质：$\int_{T}^{7T} f(u) \mathrm{d}u = (7-1)A = 6A$，故$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 6A = 2A$。 **最终答案**：$2A$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元积分
令 u = 3x + T，则 du = 3 dx，即 dx = du/3。当 x=0 时，u=T；当 x=2T 时，u=7T。原积分化为 (1/3)∫_T^{7T} f(u) du。
公式：u = 3x + T, dx = du/3
提示：注意换元后积分上下限的变化。
步骤 2/3
目标：利用周期性化简积分
由于 f 以 T 为周期，∫_T^{7T} f(u) du = (7-1)∫_0^T f(u) du = 6A。
公式：∫_a^{a+nT} f(x) dx = n∫_0^T f(x) dx
提示：周期函数在任意长度 T 的区间上积分相等。
步骤 3/3
目标：计算最终结果
原式 = (1/3) * 6A = 2A。
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