kaoyan3basic 高等数学 第74题
📝 题目
### 第74题 74 设 $a>0$ ，则 $\displaystyle I=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\pi a^2}{2}\ln 3$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle I = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ln\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{3} \mathrm{d}x = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \mathrm{d}x - \ln 3 \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{d}x$。 步骤2：第一项被积函数为奇函数（$\sqrt{a^2-x^2}$为偶，$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$为奇），积分为0。 步骤3：第二项$\displaystyle \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\pi a^2}{2}$（半圆面积），故$\displaystyle I = -\ln 3 \cdot \frac{\pi a^2}{2} = -\frac{\pi a^2}{2}\ln 3$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：拆分积分
将原积分拆分为两项：I = ∫_{-a}^{a} √(a²-x²) ln(x+√(1+x²)) dx - ln3 ∫_{-a}^{a} √(a²-x²) dx
公式：ln((x+√(1+x²))/3) = ln(x+√(1+x²)) - ln3
提示：利用对数性质拆分
步骤 2/4
目标：判断第一项奇偶性
√(a²-x²)是偶函数，ln(x+√(1+x²))是奇函数，乘积为奇函数，在对称区间积分为0。
公式：奇函数在对称区间积分为0
提示：奇偶性判断：f(-x) = -f(x)为奇函数
步骤 3/4
目标：计算第二项积分
∫_{-a}^{a} √(a²-x²) dx 表示半径为a的半圆面积，值为πa²/2。
公式：∫_{-a}^{a} √(a²-x²) dx = πa²/2
提示：几何意义：半圆面积
步骤 4/4
目标：得出最终结果
I = 0 - ln3 * (πa²/2) = -πa² ln3 / 2
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