kaoyan3basic 高等数学 第76题
📝 题目
### 第76题 76 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小．又 $y(0)=1$ ，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y(x)=\frac{1}{1-\ln(1+x)}$ **解析**： 步骤1：由增量表达式，$\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y\Delta x}{1+x}+\alpha$，其中$\alpha\sim\Delta x(\Delta x\to0)$，两边除以$\Delta x$并取极限$\Delta x\to0$，得$\displaystyle y'(x)\cdot1=\frac{y}{1+x}+1$，即$\displaystyle y'=\frac{y}{1+x}+1$。 步骤2：解一阶线性微分方程$\displaystyle y'-\frac{1}{1+x}y=1$，通解为$\displaystyle y=\mathrm{e}^{\int\frac{dx}{1+x}}\left(\int1\cdot\mathrm{e}^{-\int\frac{dx}{1+x}}dx+C\right)=(1+x)\left(\int\frac{dx}{1+x}+C\right)=(1+x)(\ln(1+x)+C)$。 步骤3：由$y(0)=1$得$1=1\cdot(0+C)$，故$C=1$，所以$y=(1+x)(\ln(1+x)+1)$。 **难度**：★★★☆☆