kaoyan3basic 高等数学 第77题
📝 题目
### 第77题 77 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 78 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$ ． C □
💡 答案解析
**答案**：$\lim_{x\to+\infty}y'(x)=0$，$\lim_{x\to+\infty}y''(x)=0$ **解析**： 步骤1：令$z=y'$，则方程化为$z'+az=f(x)$，为一阶线性微分方程，解为$z=\mathrm{e}^{-ax}\left(\int_0^x f(t)\mathrm{e}^{at}dt+C\right)$。 步骤2：由$\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$，利用洛必达法则，$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{e}^{at}dt}{\mathrm{e}^{ax}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)\mathrm{e}^{ax}}{a\mathrm{e}^{ax}}=\frac{b}{a}$，故$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}z(x)=\frac{b}{a}$，即$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y'(x)=\frac{b}{a}$。 步骤3：由原方程$y''+ay'=f(x)$，取极限得$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y''(x)+a\cdot\frac{b}{a}=b$，故$\lim_{x\to+\infty}y''(x)=0$。 **难度**：★★★☆☆