kaoyan3basic 高等数学 第79题
📝 题目
### 第79题 79 微分方程 $\displaystyle (x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=x\tan y$ **解析**： 步骤1：方程化为$\displaystyle \frac{dx}{dy}=x\tan y+\sin2y$，即$\displaystyle \frac{dx}{dy}-(\tan y)x=\sin2y$。 步骤2：解一阶线性微分方程，通解为$\displaystyle x=\mathrm{e}^{\int\tan y dy}\left(\int\sin2y\cdot\mathrm{e}^{-\int\tan y dy}dy+C\right)=\sec y\left(\int\sin2y\cos y dy+C\right)=\sec y\left(\int2\sin y\cos^2y dy+C\right)=\sec y\left(-\frac{2}{3}\cos^3y+C\right)$。 步骤3：由$y(0)=0$得$\displaystyle 0=1\cdot(-\frac{2}{3}+C)$，故$\displaystyle C=\frac{2}{3}$，所以$\displaystyle x=\sec y\cdot\frac{2}{3}(1-\cos^3y)$，整理得$y=x\tan y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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