kaoyan3basic 高等数学 第80题
📝 题目
### 第80题 80 微分方程 $y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1$ 的特解是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ **解析**： 步骤1：令$p=y'$，则$\displaystyle y''=p\frac{dp}{dy}$，方程化为$\displaystyle yp\frac{dp}{dy}+2p^2=0$，即$\displaystyle y\frac{dp}{dy}+2p=0$（$p\neq0$）。 步骤2：分离变量得$\displaystyle \frac{dp}{p}=-\frac{2}{y}dy$，积分得$\ln|p|=-2\ln|y|+C_1$，即$p=C_1y^{-2}$。 步骤3：由$y(0)=1,y'(0)=-1$得$-1=C_1\cdot1$，故$C_1=-1$，所以$y'=-y^{-2}$。 步骤4：分离变量$y^2dy=-dx$，积分得$\displaystyle \frac{1}{3}y^3=-x+C_2$，由$y(0)=1$得$\displaystyle C_2=\frac{1}{3}$，故$y^3=1-3x$，即$y=\sqrt[3]{1-3x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：降阶处理
令 p = y'，则 y'' = p dp/dy，代入原方程得 y p dp/dy + 2p^2 = 0，即 y dp/dy + 2p = 0（p ≠ 0）。
公式：y'' = p dp/dy
提示：注意 p ≠ 0，否则需单独讨论。
步骤 2/4
目标：分离变量并积分
分离变量得 dp/p = -2 dy/y，积分得 ln|p| = -2 ln|y| + C1，即 p = C1 y^{-2}。
公式：∫ dp/p = -2 ∫ dy/y
提示：积分常数用 C1 表示。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数
由 y(0)=1, y'(0)=-1 得 -1 = C1 * 1^{-2}，所以 C1 = -1，故 y' = -y^{-2}。
公式：y' = -y^{-2}
提示：代入初始条件时注意 y 和 y' 的值。
步骤 4/4
目标：再次分离变量并积分
分离变量得 y^2 dy = -dx，积分得 (1/3) y^3 = -x + C2，由 y(0)=1 得 C2 = 1/3，故 y^3 = 1 - 3x，即 y = ∛(1-3x)。
公式：∫ y^2 dy = -∫ dx
提示：注意积分后常数项的处理。
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