kaoyan3basic 高等数学 第81题
📝 题目
### 第81题 81 方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y^*=x\mathrm{e}^x$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''+y'-2y=0$的特征方程为$r^2+r-2=0$，解得$r_1=1,r_2=-2$。 步骤2：非齐次项$(6x+2)\mathrm{e}^x$中$\lambda=1$是单特征根，设特解形式$y^*=x(Ax+B)\mathrm{e}^x$。 步骤3：代入原方程，计算得$y^{*\prime}=[Ax^2+(2A+B)x+B]\mathrm{e}^x$，$y^{*\prime\prime}=[Ax^2+(4A+B)x+2A+2B]\mathrm{e}^x$，代入得$[Ax^2+(4A+B)x+2A+2B]+[Ax^2+(2A+B)x+B]-2[Ax^2+Bx]=6x+2$，化简得$(6A)x+(2A+3B)=6x+2$，比较系数得$6A=6,2A+3B=2$，解得$A=1,B=0$。 步骤4：特解为$y^*=x^2\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求解齐次方程的通解
写出齐次方程 y''+y'-2y=0 的特征方程 r^2+r-2=0，解得 r1=1, r2=-2。因此齐次通解为 y_h = C1 e^x + C2 e^{-2x}。
公式：r^2+r-2=0
提示：注意特征根为单根，无重根情况。
步骤 2/4
目标：确定特解形式
非齐次项为 (6x+2)e^x，其中 λ=1 是单特征根，故特解形式设为 y* = x(Ax+B)e^x = (Ax^2+Bx)e^x。
公式：y* = x(Ax+B)e^x
提示：因为λ=1是单根，所以乘以x。
步骤 3/4
目标：代入原方程确定系数
计算 y*' 和 y*''：y*' = [Ax^2+(2A+B)x+B]e^x，y*'' = [Ax^2+(4A+B)x+2A+2B]e^x。代入原方程得 (6A)x + (2A+3B) = 6x+2。比较系数得 6A=6, 2A+3B=2，解得 A=1, B=0。
公式：y*''+y*'-2y* = (6x+2)e^x
提示：代入后化简时注意合并同类项，e^x 可约去。
步骤 4/4
目标：写出特解
将 A=1, B=0 代入特解形式得 y* = x^2 e^x。
公式：y* = x^2 e^x
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。