kaoyan3basic 高等数学 第82题
📝 题目
### 第82题 82 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 （－）纠钵笔记
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=\cos x$ **解析**： 步骤1：令$u=x-t$，则$\int_0^x tf(x-t)dt=\int_0^x (x-u)f(u)du=x\int_0^x f(u)du-\int_0^x uf(u)du$。 步骤2：原方程化为$\int_0^x f(t)dt=x+\sin x+x\int_0^x f(t)dt-\int_0^x tf(t)dt$，两边对$x$求导得$f(x)=1+\cos x+\int_0^x f(t)dt+xf(x)-xf(x)$，即$f(x)=1+\cos x+\int_0^x f(t)dt$。 步骤3：再求导得$f'(x)=-\sin x+f(x)$，即$f'-f=-\sin x$，解一阶线性微分方程得$\displaystyle f=\mathrm{e}^x\left(\int -\sin x\cdot\mathrm{e}^{-x}dx+C\right)=\mathrm{e}^x\left(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C\right)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+C\mathrm{e}^x$。 步骤4：由原方程令$x=0$得$0=0+0+0$，代入$f(0)=1$得$\displaystyle 1=\frac{1}{2}(0+1)+C$，故$\displaystyle C=\frac{1}{2}$，所以$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★★☆