kaoyan3basic 高等数学 第83题
📝 题目
### 第83题 83 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)=b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{am+b}{n^2}$ **解析**： 步骤1：特征方程$r^2+2mr+n^2=0$，判别式$\Delta=4(m^2-n^2)>0$，两根$r_{1,2}=-m\pm\sqrt{m^2-n^2}$，均为负实数。 步骤2：通解$y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x}$，由$y(0)=a,y'(0)=b$得$C_1+C_2=a$，$r_1C_1+r_2C_2=b$，解得$\displaystyle C_1=\frac{b-ar_2}{r_1-r_2},C_2=\frac{ar_1-b}{r_1-r_2}$。 步骤3：$\displaystyle \int_0^{+\infty}y(x)dx=\int_0^{+\infty}(C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x})dx=-\frac{C_1}{r_1}-\frac{C_2}{r_2}$，代入$C_1,C_2$并利用$r_1+r_2=-2m,r_1r_2=n^2$，计算得$\displaystyle \frac{am+b}{n^2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程并求解特征根
特征方程为 r^2 + 2m r + n^2 = 0，判别式 Δ = 4(m^2 - n^2) > 0，两根为 r1 = -m + √(m^2 - n^2)，r2 = -m - √(m^2 - n^2)，均为负实数。
公式：r^2 + 2m r + n^2 = 0
提示：注意 m>n>0 保证判别式为正，两根均为负。
步骤 2/3
目标：写出通解并利用初始条件确定常数
通解为 y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}。由 y(0)=a 得 C1 + C2 = a；由 y'(0)=b 得 r1 C1 + r2 C2 = b。解得 C1 = (b - a r2)/(r1 - r2)，C2 = (a r1 - b)/(r1 - r2)。
公式：C1 + C2 = a, r1 C1 + r2 C2 = b
提示：注意 r1 - r2 = 2√(m^2 - n^2) > 0。
步骤 3/3
目标：计算积分 ∫_0^{+∞} y(x) dx
由于 r1, r2 < 0，积分收敛：∫_0^{+∞} e^{r x} dx = -1/r。因此 ∫_0^{+∞} y dx = -C1/r1 - C2/r2。代入 C1, C2 并利用 r1+r2 = -2m，r1 r2 = n^2，化简得 (a m + b)/n^2。
公式：∫_0^{+∞} e^{r x} dx = -1/r (r<0)；r1+r2 = -2m，r1 r2 = n^2
提示：化简时通分并利用韦达定理。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。